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    已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10，以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AOCD向终点C运动，运动时间是t秒．
    （1）D点的坐标为
     
    ；
    （2）当t为何值时，△APD是直角三角形；
    （3）如果另有一动点Q，从C点出发，沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28？如果可能，求出对应的t；如果不可能，请说明理由．
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    分析：（1）坐标系中线段中点的坐标等于线段两端点坐标和的一半；
    （2）分两种情况，DP垂直AP或PD垂直DA；
    （3）利用已知条件可求BC=10，直角梯形COAB的面积=56．假设P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28，由于动点P从点A出发到达点O时，用时2秒，此时从C点出发的点Q恰好到达点B，P、C、Q、A四点围成的四边形即为直角梯形COAB，所以t=2秒时四边形的面积不能为28．下面分两种情况分别讨论：①t＜2秒；②t＞2秒．
    解答：精英家教网（1）解：∵AO=8，
    ∴从点D向OA引垂线，垂足为D1，OD1=4．从D向OC引垂线，垂足为D2．OD2=DD1=
    1
    2
    （AB+CO）=7．
    故D点的坐标是（4，7）．
    故填（4，7）．（4分）

    （2）解：直角三角形即能满足勾股定理．精英家教网
    则根据速度公式可得：当DP⊥AO，
    点D为线段BC的中点，D点的坐标是（4，7）．
    ∴AP=4，
    t1=1（6分）
    利用勾股定理表示出AP12=82+（4t-8）2，AD2=42+72
    t2=
    89
    28
    ．（8分）

    （3）解：存在对应的t，能够使P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28．理由如下：
    由于t=2秒时，P、C、Q、A四点围成的四边形即为直角梯形COAB，
    所以t=2秒时四边形的面积不能为28．
    AP=4t，CQ=5t．精英家教网
    下面分两种情况分别讨论：①t＜2秒时，点P在边OA上，点Q在边BC上．
    ∵四边形PCQA的面积=28，
    ∴△POC的面积+△ABQ的面积=直角梯形COAB的面积-四边形PCQA的面积=28，
    ∴
    1
    2
    ×10×（8-4t）+
    1
    2
    ×4×
    4(10-5t)
    5
    =28，
    解得t=1．
    ∵1＜2，
    ∴t=
    25
    9
    符合题意；
    ②t＞2秒时，点P在边OC上，点Q在边AB上，四边形PCQA为梯形．
    精英家教网∵四边形PCQA的面积=28，
    ∴
    1
    2
    （18-4t+14-5t）×8=28，
    解得t=
    25
    9
    ．
    ∵
    25
    9
    ＜
    14
    5
    ，
    ∴t=
    25
    9
    符合题意．
    故当t=1或
    25
    9
    时，P、C、Q、A四点围成的四边形的面积为28．
    点评：本题考查梯形，坐标与图形性质，直角三角形的判定等，注意动态问题要考虑全面．
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    单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发

    沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止

    运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

    (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

    形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

     

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    运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

    (1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

    (2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．

    求出此时△APQ的面积．

    (3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯

    形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    (4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

     

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