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如图1，已知点A（0，4 $数学公式$ ）x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒 $数学公式$ 个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求直线AB的解析式；
（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；
（3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

解：（1）∵A（0，4 $\text{[math]}$ ）
∴OA=4 $\text{[math]}$ ，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，
∴tan∠ABO= $\text{[math]}$ ，即tan30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BO=12，
∴B（12，0）
设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
故直线AB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+4 $\text{[math]}$ ；

（2）∵△PMN为等边三角形，
∴∠PMO=60°，
∵∠ABO=30°，
∴∠PMO+∠ABO=90°，
∴∠MPB=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2AO=8 $\text{[math]}$ ，
∴BP=AB-AP=8 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
在Rt△MPB中，∠MPB=90°，tan∠ABO= $\text{[math]}$ ，
即tan30°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MP=8-t，
当M与O重合时，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90°，
∴MP= $\text{[math]}$ OB=6，即8-t=6，
∴t=2；

（3）M与O点重合时PM=MN=6，此时N点与D点重合，如图2，
当PM过点E时，∠PMB=60°，∠MBA=30°，
∴∠MBA=∠ACE=30°，
∴∠EAP=60°，

∴∠AEP=30°，
∴AP= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ ，
此时t=1；
当0≤t≤1时，设PN交EC于F，过F作FG⊥OB于G，FG=OE=2 $\text{[math]}$ ，
∵∠PNM=60°，
∴GN= $\text{[math]}$ =2，
∵PM=8-t，
∴BM=2PM=16-2t，
∴MO=BM-BO=4-2t，ON=MN-MO=t+4，EF=OG=ON-GN=t+2，
∴S= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×（t+2+t+4）
=2 $\text{[math]}$ t+6 $\text{[math]}$ ，
当0＜t≤2时，设PM、PN交EC于H、F，S=S_梯形EONF-S_△EHI．
由（2）知：MO=4-2t，IO= $\text{[math]}$ MO=4 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t，
∴EI=EO-IO=2 $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ，EH= $\text{[math]}$ EI=2t-2，
∴S_△EHI= $\text{[math]}$ ×（2t-2）×（2 $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ t²-4 $\text{[math]}$ t+2 $\text{[math]}$ ，
∴S=2 $\text{[math]}$ t+6 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t²+4 $\text{[math]}$ t-2 $\text{[math]}$ =-2 $\text{[math]}$ t²+6 $\text{[math]}$ t+4 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）已知点A的坐标知道OA的长度，在直角三角形中根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出AB，根据勾股定理求出OB，从而求出B的坐标，最后利用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）由（1）已经求出AB的长，可以表示出BP的长，题目也告诉了∠ABO的度数，利用三角函数值就可以表示出MP长度，当M到达O点利用30°的直角三角形的特殊关系求出OP，利用勾股定理就可以求出AP，从而求出时间t．
（3）当点M与原点O重合时，点N与点D也是重合的，这时以PM是否过点E为分点分别计算重合部分的面积．将重合部分的面积用含t的式子表示出来就可以了．
点评：本题考查了一次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，三角函数的运用以及图形的面积公式，数学中的动点问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

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个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N作等边△PMN．

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