Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²-2mx+m²-9．
（1）求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（0，-5），求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=

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MC，连结CD，PD，作PE⊥PD交x轴于点E，问是否存在这样的点E，使得PE=PD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质

专题：代数几何综合题

分析：（1）令y=0，则x²-2mx+m²-9=0，根据根的判别式b²-4ac=（-2m）²-4（m²-9）=36＞0，所以无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）直接将C点（0，-5）代入y=x²-2mx+m²-9根据抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），求出m的值即可；
（3）假设E点存在由直角三角形的性质可以得出∠MEP=∠CPD．再根据条件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC，EM=PC，设C（x₀，y₀），则D（4-x₀，y₀），P（x₀，

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y₀）．根据PM=DC就有2x₀-4=-

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y₀，由C点在抛物线上有2x₀-4=-

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（ x₀²-4x₀-5），求出x₀的值就可以得出结论．

解答：解：（1）令y=0，则x²-2mx+m²-9=0，
∵△=（-2m）²-4m²+36＞0，
∴无论m为何值时方程x²-2mx+m²-9=0总有两个不相等的实数根，
∵抛物线y=x²-2mx+m²-9的开口向上，顶点在x轴的下方，
∴该抛物线与x轴总有两个交点．

（2）∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与y轴交点坐标为（0，-5），
∴-5=m²-9．
解得：m=±2．
当m=-2，y=0时，x²+4x-5=0
解得：x₁=-5，x₂=1，
∵抛物线y=x²-2mx+m²-9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧，且OA＜OB），
∴m=-2不符合题意，舍去．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x-5；


（3）如图2，假设E点存在，
∵MC⊥EM，CD⊥MC，
∴∠EMP=∠PCD=90°．
∴∠MEP+∠MPE=90°
∵PE⊥PD，
∴∠EPD=90°，
∴∠MPE+∠DPC=90°
∴∠MEP=∠CPD．
在△EMP和△PCD中，

∠EMP=∠PCD ∠MEP=∠CPD PE=PD

，
∴△EPM≌△PDC（AAS）．
∴PM=DC，EM=PC
设C（x₀，y₀），则D（4-x₀，y₀），P（x₀，

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y₀）．
∴2x₀-4=

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y₀．
∵点C在抛物线y=x²-4x-5上；
∴y₀═x₀²-4x₀-5
∴2x₀-4=

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（x₀²-4x₀-5）．
解得：x₀₁=1，x₀₂=11（舍去），
∴P（1，-2）．
∴PC=6．∴ME=PC=6．
∴E（7，0）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时先运用待定系数法求出解析式是关键，解答中灵活运用直角三角形的性质是重点难点．