Question

6．如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，M是CD的中点，求证：OM平分∠AOB．

Answer 1

分析 连接OC、OD，利用“边角边”证明△AOC和△BOD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOC=∠BOD，全等三角形对应边相等可得OC=OD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠COM=∠DOM，然后求出∠AOM=∠BOM，根据角平分线的定义证明即可．

解答 证明：如图，连接OC、OD，
∵OA⊥AC，OB⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠A=∠B=90°}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠BOD，OC=OD，
∵M是CD的中点，
∴∠COM=∠DOM，
∴∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM，
即∠AOM=∠BOM，
∴OM平分∠AOB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．