Question

【题目】如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上.在边OB上取一点E，使得PE=PD.

（1）用圆规作出所有符合条件的点E；

（2）写出∠OEP与∠ODP的数量关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°.

【解析】

（1）以P为圆心，PD的长为半径画弧交OB于点E1，E2，则E1，E2即为所求；

（2）过点P作PM⊥OD，PN⊥OB，利用HL可证Rt△PNE2≌Rt PMD，得到∠OE2P与∠ODP；由PE1=PE2，可得∠OE2P＝∠E2E1P＝∠ODP，根据邻补角的性质可得∠OE1P+∠ODP＝180°.

解：（1）如图所示，E1，E2即为所求：

（2）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°，

理由是：过点P作PM⊥OD，PN⊥OB，

∵OP是∠AOB的角平分线，

∴PM＝PN，

又∵PE2＝PD，∠PNE2＝∠PMD，

∴Rt△PNE2≌Rt PMD（HL），

∴∠OE2P=∠ODP，

∵PE1=PE2，

∴∠OE2P＝∠E2E1P，

∴∠E2E1P＝∠ODP，

∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，

∴∠OE1P+∠ODP＝180°，

∴∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°.