解:(1)抛物线y
1=x
2-1向右平移4个单位的顶点坐标为(4,-1),
所以,抛物线y
2的解析式为y
2=(x-4)
2-1;
(2)x=0时,y=-1,
y=0时,x
2-1=0,解得x
1=1,x
2=-1,
所以,点A(1,0),B(0,-1),
∴∠OBA=45°,
联立
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306521.png)
,
解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/15206.png)
,
∴点C的坐标为(2,3),
∵∠CPA=∠OBA,
∴点P在点A的左边时,坐标为(-1,0),
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/upload/201308/5286466aad534.png)
在点A的右边时,坐标为(5,0),
所以,点P的坐标为(-1,0)或(5,0);
(3)存在.
∵点C(2,3),
∴直线OC的解析式为y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
x,
设与OC平行的直线y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
x+b,
联立
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306522.png)
,
消掉y得,2x
2-19x+30-2b=0,
当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时x
1=x
2=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/13.png)
×(-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306523.png)
)=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/15300.png)
,
此时y=(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/15300.png)
-4)
2-1=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8308.png)
,
∴存在第四象限的点Q(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/15300.png)
,-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/8308.png)
),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时△=19
2-4×2×(30-2b)=0,
解得b=-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/213460.png)
,
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
x-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/213460.png)
,
令y=0,则
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
x-
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/213460.png)
=0,解得x=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306524.png)
,
设直线与x轴的交点为E,则E(
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306524.png)
,0),
过点C作CD⊥x轴于D,根据勾股定理,OC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/127526.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/3293.png)
,
则sin∠COD=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306525.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/29875.png)
,
解得h
最大=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/29875.png)
×
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306524.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/306526.png)
.
分析:(1)写出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可;
(2)根据抛物线解析式求出点A、B的坐标,然后求出∠OBA=45°,再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标,再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解;
(3)先求出直线OC的解析式为y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
x,设与OC平行的直线y=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/33.png)
x+b,与抛物线y
2联立消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根,然后利用根的判别式△=0列式求出b的值,从而得到直线的解析式,再求出与x轴的交点E的坐标,得到OE的长度,再过点C作CD⊥x轴于D,然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式,联立两函数解析式求交点坐标,等腰三角形的判定与性质,(3)判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键,也是本题的难点.