Question

【题目】如图，△ABC 中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F.

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AC＝3AE，写出求tanC的思路.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，求出OD∥AC，求出DF⊥OD，根据切线的判定得出即可；

（2）由AC＝3AE可设AC＝3x，AE＝x，则AB＝AC＝3x，EC＝4x；连结BE，由AB是直径可知∠AEB＝90°，根据勾股定理求出BE，解直角三角形求出即可.

（1）证明：连接OD，

∵AB为直径∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠C＝∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD为半径，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：思路是：

连接BE，

∵AC＝3AE，AB＝AC，

∴设AE＝x，AC＝AB＝3x，

∵AB是直径，

∴∠E＝90°，

在Rt△BEA中，由勾股定理得：BE＝，

在Rt△ECB中，tanC＝.