Question

14．如图所示，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点．证明：
（1）BE⊥AC；
（2）EG=EF．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件证得BC=BO，根据等腰三角形的性质得出结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EG=$\frac{1}{2}$AB，由三角形中位线定理求得EF=$\frac{1}{2}$DC，根据AB=DC即可得到结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，BD=2OB=2OD，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵E为OB中点，
∴BE⊥AC（三线合一定理）；

（2）∵∠AEB=90°，
∵G为AB中点，
∴AB=2EG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵AB=CD，
∴CD=2EG，
∵E、F分别是OC、OD中点，
∴CD=2EF，
∴EG=EF．

点评 本题考查了平行四边形性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形的中位线性质的应用，关键是求出EG=$\frac{1}{2}$AB，题目比较好，综合性比较强．