Question

某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y（万件）与销售单价x（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销量y（万件）存在函数关系z=10y+42.5．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；（年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额）当销售单价x为何值时，年获利最大？最大值是多少？
（3）若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用（2）小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

Answer 1

分析：（1）由图象可知y关于x的函数关系式是一次函数，设y=kx+b，用“两点法”可求解析式；
（2）根据年获利=年销售总金额一年销售产品的总进价一年总开支金额，列出函数关系式；
（3）求出年销售获利等于57.5万元时，销售单价x的值，从而确定销售单价x的范围，及二次函数w最大时，x的值．

解答：解：（1）由题意，设y=kx+b，图象过点（70，5），（90，3），
∴

5=70k+b 3=90k+b

解得

k=- 1 10 b=12

∴y=-

1

10

x+12．

（2）由题意，得
w=y（x-40）-z
=y（x-40）-（10y+42.5）
=（-

1

10

x+12）（x-40）-10（-

1

10

x+12）-42.5
=-0.1x²+17x-642.5=-

1

10

（x-85）²+80．
当x=85元时，年获利的最大值为80万元．

（3）令w=57.5，得-0.1x²+17x-642.5=57.5．
整理，得x²-170x+7000=0．
解得x₁=70，x₂=100．
由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价应在70元到100元之间．
又因为销售单价越低，销售量越大，
所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元．

点评：本题考查点的坐标的求法及一次函数、二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．