Question

1．已知：矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm．
操作：如图1和如图2所示，在边AB上取点M，在边AD或边DC上取点P，连接MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠得到△A′MP或四边形A′MPD′，点A的落点为点A′，点D的落点为点D′．
探究：（1）如图1，若AM=8cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则A′C=4$\sqrt{3}$+3cm；
（2）如图2，若AM=5cm，点P在DC上，点A′落在DC上．
①求证：△A′MP为等腰三角形；
②求线段DP的长；
发现：（3）若点M固定为AB中点，点P由A开始，沿A→D→C方向，在AD，DC边上运动，设点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，按“操作”中的要求折叠，当边MA′与线段DC有交点时，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作辅助线ME，根据直角三角形中一条直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°，求出∠MA′C的度数，求出A′E即可解决问题．
（2）①根据折叠的性质和矩形对边平行可得：∠CPM=∠A′MP，则△MA′P是等腰三角形；
②在Rt△A′PD′中，由勾股定理求出PD′的长，也就是PD的长；
（3）分别计算两个位置时t的值：i）当P在AD上，点A′落在DC上时，如图3，设AP=A′P=xcm，在Rt△A′DP中，由勾股定理列方程得x²=2²+（4-x）²，解出即可；ii）当点P在DC上，A′也在DC上时，如图2，由（2）问得PD=3cm，则t=$\frac{7}{2}$s，从而写出最后的取值；

解答 解：（1）如图1，过M作ME⊥CD于E，
则ME=AD=4，BM=CE=8-5=3，
由折叠得：AM=A′M=8，
∴ME=$\frac{1}{2}$A′M，
∴∠MA′C=30°；
∴A′E=$\sqrt{3}$EM=4$\sqrt{3}$，
∴A′C=A′E+CE=4$\sqrt{3}$+3．
故答案为4$\sqrt{3}$+3．

（2）①如图2，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CPM=∠AMP，
由折叠得：∠AMP=∠A′MP，
∴∠CPM=∠A′MP，
∴A′M=A′P，
∴△MA′P是等腰三角形；

②如图2，由折叠得：A′M=AM=5，A′D′=AD=4，
由①得：A′M=A′P=5，
在Rt△A′PD′中，PD′=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴PD=PD′=3cm；

（3）①当P在AD上，点A′落在DC上时，如图3，
过M作ME⊥CD于E，
∵M是AB的中点，AB=10，
∴AM=5，
由折叠得：A′M=AM=5，
∵MN=4，
设AP=A′P=xcm，
同理得：A′E=3
∴A′D=DE-A′E=5-3=2，
PD=4-x，
在Rt△A′DP中，x²=2²+（4-x）²，
解得x=2.5，
此时，t=$\frac{5}{4}$s；
当点P在DC上，A′也在DC上时，如图2，
此时PD=3cm，
t=$\frac{7}{2}$s，
∴当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围为$\frac{5}{4}$≤t≤$\frac{7}{2}$；

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、等腰三角形、勾股定理及折叠的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题，本题难度适中，要特别注意点P的不同位置，所构成的折叠图形也有所不同．