Question

12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AC；
（2）若AE=5，DE=3，连接OE，求tan∠OEC的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AE=BD，从而得证；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，欲求tan∠OEC的值，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF结合三角形中位线求得，EF结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∴AE=AC；

（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA=90°．
∵AE=AC=5，
∴CD=DE=3．
同理，可得CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=1.5，
∴EF=4.5．
在直角△ADE中，由勾股定理可得：AD=4．
∵OA=OC，
∴OF为△ACD的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴在直角△OEF中，tan∠OEC=$\frac{OF}{EF}$=$\frac{4}{9}$．

点评 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABDE是平行四边形是解题的关键．