Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，连接AM，作AM的垂直平分线l1．过点M作x轴的垂线l2，l1与l2交于点P．设P点的坐标为（x，y）．

（Ⅰ）当M的坐标取（3，0）时，点P的坐标为　 　；

（Ⅱ）求x，y满足的关系式；

（Ⅲ）是否存在点M，使得△MPA恰为等边三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（3，）；（Ⅱ）x，y满足的关系式是y=x2+1；（Ⅲ）△MPA为等边三角形时，点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．

【解析】分析：（Ⅰ）作AN⊥PM于N，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PM，根据勾股定理计算；

（Ⅱ）分点M在x轴的正半轴上、点M在x轴的负半轴上两种情况，根据勾股定理列式计算；

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，PA=PM，设点M的坐标为（0，x），根据勾股定理列方程求出x的值．

详解：（Ⅰ）作AN⊥PM于N，

则四边形AOMN是矩形，

∴AN=OM=3，MN=OA=2，

∵l1是AM的垂直平分线，

∴PA=PM，

在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即32+（y﹣2）2=y2，

解得，y=，

∴点P的坐标为（3，），

故答案为：（3，）；

（Ⅱ）当点M在x轴的正半轴上时，

在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即x2+（y﹣2）2=y2，

解得，y=x2+1，

同理，当点M在x轴的负半轴上时，x，y满足的关系式是y=x2+1，

∴x，y满足的关系式是y=x2+1；

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，PA=PM，

要使△MPA为等边三角形，只需MA=MP即可，

∵点A的坐标为（0，2），点M的坐标为（0，x），

∴AM=，

则x2+1=，

解得，x=±2，

∴△MPA为等边三角形时，点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．