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已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a<1,以AB为一边在圆O内作正三角形ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,求AE的长.
分析:连接OA,OB,OD,OE,设∠CDB=x,根据等边三角形的性质可得∠CAB=∠CBA=60°,CB=AB,而DB=AB,则∠BCD=x,利用三角形内角和定理得∠CBD=180°-2x,则∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x,易证得△OAB≌△OBD,则∠ABO=∠DBO,可计算出∠ABO=
1
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∠ABD=
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(240°-2x)=120°-x,而OA=OB,于是∠OAB=∠OBA=120°-x,根据圆的内接四边形的对角互补得到∠EDB+∠EAB=180°,则∠EAB=180°-x,可计算出∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x,即∠EAC=∠OAB,则有∠EAO=∠BAC=60°,而OE=OA,所以△OAE为等边三角形,即可得到AE=OA=1.
解答:解:如图,连接OA,OB,OD,OE,设∠CDB=x.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠CAB=∠CBA=60°,CB=AB,
而DB=AB,
∴BC=BD,
∴∠BCD=x,
∴∠CBD=180°-2x,
∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+180°-2x=240°-2x,
易证得△OAB≌△OBD,
∴∠ABO=∠DBO,
∴∠ABO=
1
2
∠ABD=
1
2
(240°-2x)=120°-x,
而OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=120°-x,
又∵∠EDB+∠EAB=180°,
∴∠EAB=180°-x,
∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=180°-x-60°=120°-x,
∴∠EAC=∠OAB,
∴∠EAO=∠BAC=60°,
而OE=OA,
∴△OAE为等边三角形,
∴AE=OA=1.
点评:本题考查了圆的综合题:圆的内接四边形的对角互补;熟练掌握和运用等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质.
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A、
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2
a
B、1
C、
3
2
D、a

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