Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB=EI．
（I）求证：AE平分∠BAC；
（2）若BD=$\sqrt{5}$，OI⊥AD于I，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到∠ABI=∠CBI，由等腰三角形的性质得到∠EBI=∠EIB，通过三角形外角的性质和圆周角定理即可得到结论；
（2）由AB是⊙O的直径，得到AE⊥BE，推出OI∥BE，根据三角形的中位线的性质得到AI=IE=BE，推出AE=2BE，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，求得BE=2，DE=1，AE=4，AD=3，由于△ACD∽△BDE，得到$\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{DE}$=2，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵IB平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
∵EB=EI，
∴∠EBI=∠EIB，
∵∠EBI=∠BAI+∠IBA，∠EBI=∠IBC+∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE，
∵∠CBE=∠EAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BE，
∵OI⊥AE，
∴OI∥BE，
∵AO=BO，
∴AI=IE=BE，
∴AE=2BE，
∵∠EBC=∠BAE，
∴△BDE∽△ABE，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∵BD=$\sqrt{5}$，
∴BE=2，DE=1，
∴AE=4，∴AD=3，
∵△ACD∽△BDE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{DE}$=2，
∴CD²+AC²=AD²，
即CD²+（2CD）²=9，
∴CD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能正确作出辅助线并求出AE=2BE是解此题的关键，有一定的难度．