分析 (1)若△CEF为等腰直角三角形,则∠FEC=90°,且EF=EC,易得∠F=∠FCE=45°,然后由矩形的性质可得∠BCE=45°,∠FMD=45°,进而可得BC=BE=AD=4,FD=DM=$\frac{1}{2}$AD=2,然后由ASA易证△AEM≌△DFM,进而可得:AE=FD=2,进而可求:AB=AE+BE=2+4=6,进而可得矩形ABCD的周长;
(2)过点G作GH⊥AD于H,通过条件可以证明△AEM≌△HMG,得出ME=MG,进而得出∠EGM=45°,再由(1)的结论可以得出∠EGF=90°,从而得出结论.
(3)①过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,证明△AEM∽△HMG,可以得出$\frac{EG}{MG}$.
解答 (1)解:若△CEF为等腰直角三角形,则∠FEC=90°,且EF=EC,如图1所示,
∵∠FEC=90°,且EF=EC,
∴∠F=∠FCE=45°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°,AD=BC=4,
∴∠BCE=45°,∠FMD=45°,∠BEC=45°,
∴∠F=∠FMD,∠BEC=∠BCE,
∴DF=DM,BC=BE=4,
∵M是AD的中点,
∴MD=AM=$\frac{1}{2}$AD=2,
∴DF=2,
在△AME和△DMF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDM}\\{AM=DM}\\{∠AME=∠DMF}\end{array}\right.$,
∴△AME≌△DMF(ASA),
∴AE=DF=2,
∴AB=AE+BE=2+4=6,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(6+4)=20;
(2)答:△GEF是等腰直角三角形.
证明:过点G作GH⊥AD于H,如图2,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形.
∴GH=AB=2,
∵M是AD的中点,
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=2,
∴AM=GH.
∵MG⊥EF,
∴∠GME=90°.
∴∠AME+∠GMH=90°.
∵∠AME+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠GMH.
在△AEM和△HMG中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{AM=GH}\\{∠AEM=∠GMH}\\{∠A=∠AHG}\end{array}\right.$,
∴△AEM≌△HMG.
∴ME=MG.
∴∠EGM=45°.
由(1)得△AEM≌△DFM,
∴ME=MF.
∵MG⊥EF,
∴GE=GF.
∴∠EGF=2∠EGM=90°.
∴△GEF是等腰直角三角形.
(3)①△GEF是等边三角形.
证明:过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H,如图3,
∵∠A=∠B=∠AHG=90°,
∴四边形ABGH是矩形.
∴GH=AB=2$\sqrt{3}$.
∵MG⊥EF,
∴∠GME=90°.
∴∠AME+∠GMH=90°.
∵∠AME+∠AEM=90°,
∴∠AEM=∠GMH.
又∵∠A=∠GHM=90°,
∴△AEM∽△HMG.
∴$\frac{EG}{MG}$=$\frac{AM}{GH}$.在Rt△GME中,
∴tan∠MEG=$\frac{MG}{EM}$=$\sqrt{3}$.
点评 本题是一道相似形的综合题,考查了全等三角形的判定及性质,相似三角形的判定及性质,三角函数值的运用,等边三角形的判定,等腰直角三角形的判定.在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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