Question

20．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．
例如：因为3a²≥0，所以3a²-1≥-1，即：3a²-1就有最小值-1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值-1．同样，因为-3a²≤0，所以-3a²+1≤1，即：-3a²+1就有最大值1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值1．
（1）当x=-1时，代数式-2（x+1）²-1有最大值（填“大”或“小”）值为-1
当x=-1时，代数式2x²+4x+1有最小值（填“大”或“小”）值为-1
（2）在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC．
①试写出四边形DFCE的面积S（cm²）与时间t（s）之间的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
②四边形DFCE的面积S（cm²）有最大值吗？有最小值吗？若有，求出它的最值，并求出此时t的值．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质和配方法解答即可；
（2）①根据四边形DFCE的面积公式即可求得S关t的二次函数；
②利用配方法把函数关系式变形，求出四边形DFCE的面积S（cm²）的最大值．

解答 解：（1）当x=-1时，代数式-2（x+1）²-1有最大值，最大值为-1，
2x²+4x+1=2（x+1）²-1，
则x=-1时，代数式2x²+4x+1有最小值，最小值为-1，
故答案为：-1；大；-1；-1；小；-1；
（2）①ts后，AD=DE=2t，DB=12-2t，
过E作EG⊥DF交DF于G点，
S_□CEDF=DF×EG
=$\sqrt{2}$DB×$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE
=$\sqrt{2}$×DB×$\frac{\sqrt{2}}{2}$DA
=DB×DA
=（12-2t）×2t
=-4t²+24t，（0＜t＜6）；
②-4t²+24t=-4（t²-6t+9-9）=-4（t-3）²+36，
∴四边形DFCE的面积S有最大值，最大值是36cm²．

点评 本题考查的是配方法的应用、结合四边形的面积公式考查了二次函数的求法以及一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，利用数形结合列方程求解．