Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，点B的坐标为(

1

2

，m)．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知∠AOC的正切值，那么应构造∠AOC所在的直角三角形，得到点A的坐标，即可求得反比例函数，进而得出点B的坐标，把A、B坐标代入待定系数的解析式中，即可求得一次函数解析式．
（2）一次函数的值小于反比例函数的值即一次函数的图象在反比例函数的图象下方，根据图形可知在交点的右边一次函数的值小于反比例函数的值．

解答：解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，得2AD=DO
∵由勾股定理，可得AD=1，DO=2，
∴点A（-2，1），k=-2；
故反比例函数的解析式为y=-

2

x

∵点B在反比例函数上，
∴m=-

2

1 2

，得m=-4，
∵A，B在一次函数的上，
∴

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，解得

a=-2 b=-3

∴一次函数的解析式为y=-2x-3

（2）由图象可知，当-2＜x＜0或x＞

1

2

时一次函数的值小于反比例函数的值．

点评：本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．