Question

如图，将长方形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别记为S₁、S₂，且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若长方形OABC的边长OA=2，OC=4．
①求k的取值范围；
②设四边形OAEF的面积为S，求证：S≤5．

Answer 1

分析：（1）点E、F反比例函数y=

k

x

（k＞0）图象上的点，S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）①E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），根据OA=2，OC=4可直接得k的取值范围；
②设E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），可得BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，然后表示出△BEF、△OFC、矩形OABC的面积，然后根据S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF表示出面积，再求出最大值即可证出结论．

解答：解：（1）∵点E、F反比例函数y=

k

x

（k＞0）图象上的点，
∴S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，
∴S₁+S₂=

k

2

+

k

2

=2，
解得，k=2；

（2）①∵点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），OA=2，OC=4
∴0＜k＜8；

②∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
∴设E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

（4-

k

2

）（2-

k

4

）=

1

16

k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S=S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（

1

16

k²-k+4）-

k

2

=-

1

16

k²+

1

2

k+4，
=-

1

16

（k-4）²+5
∴当k=4时，四边形AOFE的面积最大，
∴S≤5；

点评：此题主要考查了反比例函数的综合运用以及反比例函数y=

k

x

（x＞0）k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式以及二次的顶点式及其最值问题，利用数形结合得出函数最值是解题关键．