如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.
(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O;(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为s,你认为能否确定s的最大值?若能,请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由.
解:(1)共2分.(标出了圆心,没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分,
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时,由角平分线的性质,动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点),
∵ OX =BOsin∠ABM, P1Z=BP1sin∠ABM.
当 BP1>BO 时 ,P1Z>OX,即P与B的距离越大,⊙P的面积越大.
这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
(3分.此处没有证明和结论不影响后续评分)
如图2,∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与边CB相切于C,与边AB相切于E,
即这时的⊙P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)
这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A=∠A,∠BCA=∠AEP=90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE, (5分)
∴.
∵AC=1,BC=2,∴AB=.
设PC=x,则PA=AC-PC=1-x, PC=PE,
∴, ∴x= . (6分)
②如图3,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则 ,
∴y= . (7分)
③如图4,同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,
设PF=z,则, ∴z=. (8分)
由①,②,③可知:∵ >2,∴ +2>+1>3,
∵当分子、分母都为正数时,若分子相同,则分母越小,这个分数越大,
(或者:∵x= =2-4, y= = 5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
∴2, (9分,没有过程直接得出酌情扣1分)
∴ z>y>x. ∴⊙P的面积S的最大值为. (10分)
【解析】略
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2 |
AC |
CM |
BC |
CA |
CM |
AB |
2 |
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2
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π |
2
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π |
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