Question

如图，已知：△ABC为等边三角形，D、F分别为射线BC、射线AB边上的点，BD=AF，以AD为边作等边△ADE．
（1）如图①所示，当点D在线段BC上时：
①试说明：△ACD≌△CBF；②判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
（2）如图②所示，当点D在BC的延长线上时，判断四边形CDEF的形状，并说明理由．
（3）当点D在射线BC上移动到何处时，∠DEF=30°，并说明理由．

Answer 1

解：（1）①∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，
∵BD=AF，
∴CD=BF，
∵在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
②判断四边形CDEF的形状是平行四边形，理由是：
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF=∠DAC，AD=CF，
∵AD=DE，
∴DE=CF，
∵∠ACD=∠ADE=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∵∠BCF=∠DAC，
∴∠BDE=∠BCF，
∴DE∥CF，
∵DE=CF，
∴四边形CDEF的形状是平行四边形；

（2）四边形CDEF的形状是平行四边形，
理由是：∵∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ACD=∠FBC=120°，
∵BD=AF，BC=AB，
∴CD=BF，
∵在△FBC和△DCA中，
，
∴△FBC≌△DCA（SAS），
∴∠DAC=∠BCF，FC=AD，
∵AD=DE，
∴FC=DE，
∵∠ACB=60°=∠DAC+∠ADC=∠BCF+∠ADC，
∠ADE=60°=∠ADC+∠CDE，
∴∠BCF=∠EDC，
∴CF∥DE，
∵FC=DE，
∴四边形CDEF是平行四边形；

（3）点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵点D在边BC的中点上，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠BCF=∠DAC=30°，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠DCF=30°，
即点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°．
分析：（1）①根据等边三角形的性质推出∠ACD=∠B=∠BAC=60°，∠ADE=60°，AD=DE，AC=BC=AB，求出CD=BF，根据SAS证出△ACD≌△CBF即可；②根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠DAC，AD=CF，求出DE=CF，求出∠BDE=∠BCF，推出DE∥CF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）求出∠ACD=∠FBC=120°，CD=BF，根据SAS证出△FBC≌△DCA，推出∠DAC=∠BCF，FC=AD，求出FC=DE，求出∠BCF=∠EDC，推出CF∥DE，根据平行四边形的判定推出即可；
（3）点D在边BC的中点上时，∠DEF=30°，根据等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC=30°，推出∠BCF=∠DAC=30°，∠DEF=∠DCF=30°，即可得出答案．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，证明过程类似．