【题目】如图1,AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线,过点A作AE上AD,交BD的延长线于点E.
(1)求证:∠E=∠C;
(2)如图2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos∠ABC的值;
(3)如果∠ABC是锐角,且△ABC与△ADE相似,求∠ABC的度数,并直接写出的值.
【答案】(1)见解析;(2)cos∠ABC的值为2∶3;(3)∠ABC=30°或∠ABC=45°,的值或
【解析】
(1)由AE⊥AD,得到∠DAE=90°,∠E=90°-∠ADE,再由AD平分∠BAC,得到∠ABD∠BAC,即可解答
(2)延长AD交BC于点F,得出,再利用三角函数即可即可
(3)根据题意得出∠ABC=∠E=∠C,继而可得∠ABC=30°,,∠ABC=45°,,即可解答
证明:∵AE⊥AD,
∴∠DAE=90°,∠E=90°-∠ADE.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD∠BAC,同理∠ABD∠BAC
又∵∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠BAC+∠ABC=180°-∠C,
∴∠ADE(∠BAC+∠BAC)(180°-∠C).
∴∠E=90°-(180°-∠C)∠C
解:延长AD交BC于点F.
∵AE=AB,∴∠ABE=∠E.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠E.
∴AE∥ BC.
∴∠AFB=∠FAE=90°,
又∵BD∶DE=2∶3
∴cos∠ABC=
∴cos∠ABC的值为2∶3.
(3)解:△ABC与△ADE相似,且∠DAE=90°,
∴△ABC中必有一个内角等于90°.
∵ABC是锐角,
∴∠ABC≠90°.
若∠BAC=∠DAE=90°,
∵∠E=∠C,∴∠ABC=∠E=∠C
∵∠ABC+∠C=90°,∴∠ABC=30°.这时
综上所述,∠ABC=30°或∠ABC=45°,的值或
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【题目】如图,点P是菱形ABCD边上的动点,它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在中,,,,点O是AB的三等分点,半圆O与AC相切,M,N分别是BC与半圆弧上的动点,则MN的最小值和最大值之和是( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
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【题目】如图,抛物线与x轴交于点,点,与y轴交于点C,且过点.点P、Q是抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当与相似时,求点Q的坐标.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一动点,连结AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交 AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中,∠APG的大小变化情况是( )
A. 变大 B. 先变大后变小 C. 先变小后变大 D. 不变
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm,以AC为直径的半圆O交AB于点D,点E是AB的中点,CE交半圆O于点F,则图中阴影部分的面积为______cm2.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,以点B为圆心的圆与AD、DC相切,与AB、CB的延长线分别相交于点E,F,则图中阴影部分的面积为________.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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【题目】如图,平行四边形纸片ABCD的边AB,BC的长分别是10cm和7.5cm,将其四个角向内对折后,点B与点C重合于点C',点A与点D重合于点A′.四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG,其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上,则EF=__cm.
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