Question

如图，等边△ABC的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是

BC

的中点．
（1）试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BDE的面积．

Answer 1

分析：（1）作⊙O的切线CF，判断出∠BCF=∠ABC，得到CF∥AB，可知CF与直线AB不相交．
（2）OB是圆O直径，证出∠HBE=90°，可得BE是⊙O的切线，并将S_△BDE转化为S_△BCE．

解答：解：（1）CF是⊙O的切线，（如图）
CF与直线AB不相交．（1分）
证明：∵CF是⊙O的切线，
∴∠BCF=∠A，（3分）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A，
∴∠BCF=∠ABC，
∴CF∥AB，
∴CF与直线AB不相交．（4分）

（2）连接BO并延长交AC于H．
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BHC=90°，（5分）
∵点P是BC的中点，
∴∠BCE=30°．（6分）
又∵∠ACB=60°，
∴∠HCE=90°．
∵∠BEC=90°，
∴∠HBE=90°．
∴BE是⊙O的切线． （8分）
在△ACD中，
∵∠ACD=90°，∠A=60°，
∴∠D=30°，（9分）
∴BD=BC，
∴DE=CE，
∴S_△BDE=S_△BCE，（10分）
在矩形BHCE中，
S_△BCE=S_△BCH=

1

2

S，（11分）
∴S_△BCE=

1

2

S，
∴S_△BDE=

1

2

S．（12分）

点评：本题综合考查了切线的判定，解直角三角形等知识点的运用．此题是一个大综合题，难度较大．