Question

17．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CF⊥AB于点E，过点D的切线交FC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②④
• B． ②③⑤
• C． ③④
• D． ②⑤

Answer 1

分析 由于$\widehat{AC}$与$\widehat{BD}$不一定相等，根据圆周角定理可知①错误；
由于$\widehat{AC}$与$\widehat{BD}$不一定相等，那么$\widehat{AD}$与$\widehat{BC}$也不一定相等，根据圆心角、弧、弦的关系定理可知②错误；
先由垂径定理得到A为$\widehat{CE}$的中点，再由C为$\widehat{AD}$的中点，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{AE}$，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可知③正确；
连接OD，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，可知④正确；
由于$\widehat{AC}$与$\widehat{BD}$不一定相等，而由垂径定理可得出$\widehat{BC}$=$\widehat{BE}$，则$\widehat{AD}$与$\widehat{BE}$不一定相等，∠GDA与∠BCE不一定相等，又∠BCE即∠PCQ=∠PQC，所以∠GDA与∠PQC不一定相等，可知⑤错误．

解答 解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$≠$\widehat{BD}$，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

∵$\widehat{AC}$≠$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}$+$\widehat{CD}$≠$\widehat{BD}$+$\widehat{CD}$，
即$\widehat{AD}$≠$\widehat{BC}$，
∴AD≠BC，故②错误；

∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为$\widehat{CE}$的中点，即$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，
又∵C为$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故④正确；

∵CE⊥AB，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BE}$，
∵$\widehat{AD}$≠$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{AD}$≠$\widehat{BE}$，
∴∠GDA≠∠BCE，
又∵∠BCE=∠PQC，
∴∠GDA≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
综上可知，正确的结论是③④，一共2个．
故选：C．

点评 此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．