分析 设圆的半径为R,在正方形ABCD中,连接AC,由圆周角定理得出AC为直径,由正方形的性质得出AC=2R,求出AB=$\sqrt{2}$R;在正三角形EFM中,作ON⊥EF于N,连接OF,则∠ONF=90°,∠OFN=$\frac{1}{2}$∠EFM=30°,求出ON=$\frac{1}{2}$R,得出FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R,FM=2FN=$\sqrt{3}$R,即可得出结果.
解答 解:设圆的半径为R,如图所示:
在正方形ABCD中,连接AC,
∵∠B=90°,
∴AC为直径,
∴AC=2R,
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$R;
在正三角形EFM中,作ON⊥EF于N,连接OF,
则∠ONF=90°,∠OFN=$\frac{1}{2}$∠EFM=30°,
∴ON=$\frac{1}{2}$R,
∴FN=$\sqrt{3}$ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R,
∴FM=2FN=$\sqrt{3}$R,
∴AB:FM=$\sqrt{2}$:$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了正方形的性质、正三角形的性质、解直角三角形、三角函数;熟练掌握正方形和正三角形的性质,在直角三角形中运用三角函数计算是解决问题的关键.
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