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如图,已知抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称,并与y轴交于点M,与x轴交于点A和B.
(1)求出y=mx2+nx+p的解析式,试猜想出一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的二次函数解析式(不要求证明);
(2)若AB的中点是C,求sin∠CMB;
(3)如果一次函数y=kx+b(k≠0)过点M,且与抛物线y=mx2+nx+p,相交于另一点N(i,j),如果i≠j,且i2-j2-i+j=0,求k的值.
分析:(1)抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称,知关于y轴对称x变为-x,y轴值不变,所以易得y=x2+6(-x)+5,即对称后的表达式为y=ax2+bx+c,关于y轴对称只要把x变为-x就可以了;
(2)首先连接BM,作CD⊥BM,垂足为D,易求得△OMB是等腰直角三角形,继而求得CD与MC的长,则可求得答案;
(3)首先利用因式分解的知识,可得j=1-i,然后由一次函数y=kx+b(k≠0)过点M,且与抛物线y=mx2+nx+p,相交于另一点N(i,j),利用待定系数法即可求得答案.
解答:解:(1)∵抛物线y=mx2+nx+p与y=x2+6x+5关于y轴对称,
∴y=mx2+nx+p的解析式为:y=x2-6x+5;
∴一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)关于y轴对称的二次函数解析式:y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c;

 (2)连接BM,作CD⊥BM,垂足为D,
当y=0时,即x2-6x+5=0,
解得:x1=1,x2=5,
∴A(1,0),B(5,0),
∵C是AB的中点,
∴C(3,0),
∴AC=BC=2,
当x=0时,y=5,
∴M(0,5),
∴OB=OM=5,
∴△OMB是等腰直角三角形,
∴∠OMB=∠OBM=45°,
∴在Rt△BCD中,CD=BC•sin45°=
2

在Rt△OMC中,OM=5,OC=3,
∴MC=
OM2+OC2
=
52+32
=
34

∴sin∠CMB=
CD
CM
=
2
34
=
17
17


(3)∵i2-j2-i+j=0,
即(i-j)(i+j)-(i-j)=(i-j)(i+j-1)=0,
∴i-j=0或i+j-1=0,
∵i≠j,
∴j=1-i,
∵N在y=kx+b上,
∴j=ki+b
∵M在y=kx+b上,
∴b=5,
∴j=ki+5,
即1-i=ki+5,
∴k=-1-
4
i

∵N在y=x2-6x+5上,
j=i2-6i+5
j=1-i

解得:
i=1
j=0
i=4
j=-3

∴k=-5或k=-2.
即k的值是-5或-2.
点评:此题考查了函数的对称性、待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题综合性很强,难度较大,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
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(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
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(1)求此抛物线的解析式;
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-2<x<0
-2<x<0
时,y<-3;
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(4)若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时,正好也与y轴相切,求点P的坐标.

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