Question

11．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，过劣弧$\widehat{AB}$上的一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E．求证：∠DOE=90°-$\frac{1}{2}$∠P．

Answer 1

分析 连接OA，OB，OC，OD，OE，根据PA，PB，DE分别为圆的切线，利用切线长定理得到OD、OE为角平分线，由∠DOC+∠COE表示出∠DOE，再利用切线的性质及四边形内角和定理表示出∠AOB，代入即可得证．

解答 证明：连接OA，OB，OC，OD，OE，
∵PA、DE、PB都为圆O的切线，
∴AD=DC=CE=BE，且∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=$\frac{1}{2}$（∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE）=$\frac{1}{2}$∠AOB，
在四边形AOBP中，∠OAP+∠AOB+∠PBO+∠P=360°，且∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠AOB+∠P=180°，即∠AOB=180°-∠P，
则∠DOE=$\frac{1}{2}$（180°-∠P）=90°-$\frac{1}{2}$∠P．

点评 此题考查了切线的性质，切线长定理，以及四边形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．