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(2004•宜昌)如图,已知点A(0,1),C(4,3),E(),P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的一动点,点D在y轴上,抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点.
(1)说明点A,C,E在一条直线上;
(2)能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向?请说明理由;
(3)设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧),△GAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点,这时能确定a、b的值吗?若能,请求出a,b的值;若不能,请确定a、b的取值范围.

【答案】分析:(1)说明点A、C、E在一条直线上,只要求出过A、C的直线的解析式,然后判断E是否满足函数的解析式就可以;
(2)由于动点P在矩形ABCD的内部,因而点P的纵坐标大于点A的纵坐标,而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,则抛物线有最高点,抛物线的开口向下;
(3)已知△GAO与△FAO的面积差为3,而这两个三角形的高相同是OA的长,等于1,因而就可以得到OG与OF的长度的一个关系式.抛物线y=ax2-6ax+1的顶点可以用a表示出来,顶点P在矩形ABCD的内部,即可以求出a的取值范围.
解答:解:(1)由题意,A(0,1)、C(4,3)两点确定的直线解析式为:y=x+1(1分)
将点E的坐标(),代入y=x+1中,左边=,右边=×+1=
∵左边=右边
∴点E在直线y=x+1上,
即点A、C、E在一条直线上;(2分)

(2)解法一:由于动点P在矩形ABCD的内部,
∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标,而点A与点P都在抛物线上,且P为顶点,
∴这条抛物线有最高点,抛物线的开口向下.(3分)
解法二:
∵抛物线y=ax2+bx+1的顶点P的纵坐标为,且P在矩形ABCD的内部,
∴1<<3,由1<1-得->0.
∴a<0.
∴抛物线开口向下;(3分)

(3)连接GA、FA.
∵S△GAO-S△FAO=3
GO•AO-FO•AO=3.
∵OA=1,
∴GO-FO=6.
设F(x1,0),G(x2,0),
则x1、x2是方程ax2+bx+1=0的两个根,且x1<x2
又∵a<0
∴x1•x2=<0,
∴x1<0<x2
∴GO=x2、FO=-x1
∴x2-(-x1)=6,即x2+x1=6
∵x2+x1==6
∴b=-6a(5分)
∴抛物线的解析式为:y=ax2-6ax+1,其顶点P的坐标为(3,1-9a)
∵顶点P在矩形ABCD的内部,
∴1<1-9a<3,
∴-<a<0①(6分)
由方程组
得:ax2-(6a+)x=0
∴x=0或x==6+
当x=0时,即抛物线与线段AE交于点A,而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点,
则有:0<6+
解得:-a<-②(8分)
综合①②,得-<a<-(9分)
∵b=-6a,
<b<.(10分)
点评:本题综合运用了抛物线的顶点坐标的求法,以及一元二次方程的求解和韦达定理.难度较大.
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