Question

如图，已知一次函数y=-

3

4

x+3的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间为t（s），其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）求线段AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD的面积等于△AOB面积的

9

80

；
（3）当t为何值时，△ACD是等腰三角形．

Answer 1

（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

42+32

=5；

（2）如图1，作CH⊥OA于H，
则△ACH～△ABO，
∴

CH

BO

=

AC

AB

∴

CH

3

=

5-t

5

∴CH=

3(5-t)

5

∴S△ACD=

1

2

AD•CH=

1

2

t•

3(5-t)

5

=-

3

10

t2+

3

2

t，
S△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4×3=6，
∴-

3

10

t2+

3

2

t=6×

9

80

，
即4t²-20t+9=0
解得：t1=

1

2

，t2=

9

2

（舍去），
故t=

1

2

时，S△ACD=

9

80

S△AOB；

（3）①如图2，当AC=AD时，5-t=t，
∴解得：t=

5

2

（符合题意）；
②如图3，当AC=CD时，过点C作CH⊥AD于点H，
由（2）得出：CH=

3(5-t)

5

，AH=DH=

1

2

t，
∴

CH

AH

=

3(5-t) 5

t 2

=

3

4

，
解得：t=

40

13

（符合题意），
③如图4，当AD=CD时，过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠OAB=∠HAD，∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽ABO，
∴

AH

AO

=

AD

AB

，

5-t 2

4

=

t

5

解得：t=

25

13

（符合题意），
故t为

5

2

或

40

13

或

25

13

时△ACD是一个等腰三角形．