分析 (1)连结OD,如图,由EF=ED得到∠EFD=∠EDF,再利用对顶角相等得∠EFD=∠CFO,则∠CFO=∠EDF,由于∠OCF+∠CFO=90°,∠OCF=∠ODF,则∠ODC+∠EDF=90°,于是根据切线的判定定理可得DE是⊙O的切线;
(2)由OF:OB=1:3得到OF=1,BF=2,设BE=x,则DE=EF=x+2,根据圆周角定理,由AB为直径得到∠ADB=90°,接着证明△EBD∽△EDA,利用相似比得$\frac{DE}{AE}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{BD}{AD}$,即$\frac{x+2}{6+x}$=$\frac{x}{x+2}$=$\frac{BD}{AD}$,然后求出x的值后计算$\frac{BD}{AD}$的值.
解答 (1)证明:连结OD,如图,
∵EF=ED,
∴∠EFD=∠EDF,
∵∠EFD=∠CFO,
∴∠CFO=∠EDF,
∵OC⊥OF,
∴∠OCF+∠CFO=90°,
而OC=OD,
∴∠OCF=∠ODF,
∴∠ODC+∠EDF=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵OF:OB=1:3,
∴OF=1,BF=2,
设BE=x,则DE=EF=x+2,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO=∠BDE,
而∠ADO=∠A,
∴∠BDE=∠A,
而∠BED=∠DAE,
∴△EBD∽△EDA,
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{BD}{AD}$,即$\frac{x+2}{6+x}$=$\frac{x}{x+2}$=$\frac{BD}{AD}$,
∴x=2,
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.
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A. | 6 | B. | 12 | C. | 20 | D. | 24 |
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A. | (4,3) | B. | (2,4) | C. | (3,1) | D. | (2,5) |
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A. | (-2,1) | B. | (-8,4) | C. | (-8,4)或(8,-4) | D. | (-2,1)或(2,-1) |
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