Question

10．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，则△CEF的周长为2．

Answer 1

分析 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，根据旋转的性质可得HD=BE，AH=AE，∠DAH=∠BAE，然后求出∠FAH=∠EAF，再利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FH，然后求出△CEF的周长=BC+CD，再根据正方形的边长求解即可．

解答 解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
由旋转的性质得，HD=BE，AH=AE，∠DAH=∠BAE，
所以，∠FAH=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-∠EAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAH=90°-45°=45°，
∴∠FAH=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AE}\\{∠FAH=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=FH，
∴△CEF的周长=EF+CF+CE，
=FH+CF+CE，
=FD+DH+CF+CE，
=DF+BE+CF+CE，
=（BE+CE）+（DF+CF），
=BC+CD，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴△CEF的周长为1+1=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于利用旋转变换作出全等三角形并用正方形的边长表示出△CEF的周长．