Question

9．如图，在?ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：CF=CD；
（2）若AD=2AB，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF，进而得出CF=CD；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF，证出DA=DF，利用等腰三角形的性质求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
则在△BAE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CFE}&{\;}\\{∠ECF=∠EBA}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∴CF=CD；
（2）解：DE⊥AF，理由如下：
由（1）得：CF=CD，△BAE≌△CFE，
∴AE=EF，
∴DF=2CD，
∵AB=CD，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵AE=EF，
∴DE⊥AF

点评 此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．