Question

5．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=$\frac{1}{2}$x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．

解答 解：
（1）∵已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），
∴可设抛物线解析式为y=a（x-2）²+1，
∵抛物线经过点（4，2），
∴2=a（4-2）²+1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+1=$\frac{1}{4}$x²-x+2；
（2）联立直线和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+2}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{5}}\\{y=\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{5}}\\{y=\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∴B（3-$\sqrt{5}$，$\frac{5}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$），D（3+$\sqrt{5}$，$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
∵C为BD的中点，
∴点C的纵坐标为$\frac{\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∵BD=$\sqrt{[（3-\sqrt{5）}-（3+\sqrt{5}）]^{2}+[（\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}）-（\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}）]^{2}}$=5，
∴圆的半径为$\frac{5}{2}$，
∴点C到x轴的距离等于圆的半径，
∴圆C与x轴相切；

（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，

由（2）可知CM=$\frac{5}{2}$，CH=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，
∵HF=$\frac{3+\sqrt{5}-（3-\sqrt{5}）}{2}$=$\sqrt{5}$，
∴MF=HF-MH=$\sqrt{5}$-2，
∵BE=$\frac{5}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{BE}{MF}$=$\frac{\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}-2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识．在（1）中注意利用抛物线的顶点式，在（2）中求得B、D的坐标是解题的关键，在（3）中求得BE、MF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．