Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H。
（1）求证：AH·AB=AC²；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC²；
（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC²是否成立（不必正面）。

Answer 1

证明：（1）连结CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAH=∠BAC，
∴△CAH∽△BAC，
∴，
即AH·AB=AC²；
（2）连结FB，
易证△AHE∽△AFB，
∴AE·AF=AH·AB，
∴AE·AF=AC²，
也可连结CF，证△AEC∽△ACF；
（3）结论AP·AQ=AC²成立。