Question

已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），

①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；

②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．

图1                          图2

Answer 1

解：（1）由题意，得，解得

∴抛物线的解析式为.

（2）①令，解得  ∴B（3， 0）

则直线BC的解析式为  当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，

∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.

解方程组，得    ∴点

当点P在x轴下方时，如图1，

根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，

得直线的解析式为，

解方程组，得

∴

综上所述，点P的坐标为：

，

②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°  ∴∠CBF=∠ABC=45°

又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC      ∴△ACB≌△FCB

∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C  ∴直线CP的解析式为.