Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．

（1）如图1，当时间t＝　 秒时，四边形APQO是矩形；

（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于　 秒；

（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝x．

【解析】

先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．

（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．

（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．

（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．

∵矩形AOBC中，C（6，4）

∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4

依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）

∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t

（1）∵四边形APQO是矩形

∴AP＝OQ

∴t＝6﹣2t

解得：t＝2

故答案为：2．

（2）过点P作PH⊥x轴于点H

∴四边形APHO是矩形

∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°

∵PQ＝5

∴HQ＝

①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t

∴6﹣3t＝3

解得：t＝1

②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6

∴3t﹣6＝3

解得：t＝3

故答案为：1或3．

（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M

∴四边形AMNO是矩形

∴MN＝OA＝4，ON＝AM

∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E

∴PQ垂直平分OE

∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE

∵∠POE＝45°

∴∠PEO＝∠POE＝45°

∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部

∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°

∴∠MPE＝∠AOP

在△MPE与△AOP中

∴△MPE≌△AOP（AAS）

∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t

∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t

∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2

∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2

∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝

∴AM＝+4＝，EN＝4﹣＝

∴点E坐标为（，）

∴直线OE的函数表达式为y＝x．