Question

20．如图，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，线段AB的中点为D（3，2）．将△AOB沿直线CD折叠，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在坐标平面内存在点P（除点C外），使得以A、D、P为顶点的三角形与△ACD全等，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据线段中点的性质，可得B点，A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）当△ACD≌△AP₁D时，根据C、P点关于D点对称，可得P点坐标，当△ACD≌△DP₂A时，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；当△ACD≌△DP₃A时，根据线段中点的性质，可得答案．

解答 解：（1）设A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），
由线段AB的中点为D（3，2），得
$\frac{0+a}{2}$=3，$\frac{0+b}{2}$=2，
解得a=6，b=4．
即A（6，0），B（0，4）
（2）如图1：连接BC，设OC=x，则AC=CB=6-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
4²+x²=（6-x）²，
解得x=$\frac{5}{3}$，
即C（$\frac{5}{3}$，0）；
（3）①当△ACD≌△APD时，设P₁（c，d），
由D是PC的中点，得
$\frac{c+\frac{5}{3}}{2}$=3，$\frac{d+0}{2}$=2，
解得c=$\frac{13}{3}$，d=4，
即P₁（$\frac{13}{3}$，4）；
如图2：，
②当△ACD≌△DP₂A时，
做DE⊥AC与E，P₂F⊥AC与F点，DE=2，CE=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
由△CDE≌△AP₂F，
AF=CE=$\frac{4}{3}$，P₂F=DE=2，
OF=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴P₂（$\frac{14}{3}$，-2）；
③当△ACD≌△DP₃A时，设P₃（e，f）
A是线段P₂P₃的中点，得
$\frac{e+\frac{14}{3}}{2}$=6，$\frac{f+（-2）}{2}$=0，
解得e=$\frac{22}{3}$，f=2，
即P₃（$\frac{22}{3}$，2），
综上所述：P₁（$\frac{13}{3}$，4）；P₂（$\frac{14}{3}$，-2）；P₃（$\frac{22}{3}$，2）．

点评 本题考查了一次函数综合题，利用了轴对称的性质，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．