Question

5．如图，A（4，0），B（0，4）两点，P在BA延长线上，△OPE为等腰直角三角形，F为PE的中点，OF交AB于M．
（1）若P（5，-1），求E点坐标；
（2）当P点在AB上运动时，问PA、PM、BM三者之间存在怎样关系并证明．

Answer 1

分析 （1）根据等式的性质，可得∠POC=∠EOH，根据全等三角形的判定与性质，可得EH、OH的长，可得E点坐标；
（2）根据线段中点公式，可得F点坐标，根据待定系数法，可得OF的解析式，AB的解析式，根据解方程组，可得M点坐标，根据勾股定理，可得PA、PM、BM，分类讨论：当a＞4时，当$\frac{12}{5}$＜a＜4时，当a＜$\frac{12}{5}$时，根据实数的运算，可得答案．

解答 解：（1）作PC⊥x于C，作EH⊥y于H，
由△OPE为等腰直角三角形，得
∠POE=90°，OP=OE．
由∠POC+∠COE=90°，∠EOH+∠COE=90°，得
∠POC=∠EOH．
在△POC和△EOH中$\left\{\begin{array}{l}{POC=∠EOH}\\{∠PCO=∠EHO}\\{OP=OE}\end{array}\right.$，
∴△POC≌△EOH  （AAS），
∴EH=PC=1，OH=OC=5，
E点坐标（1，5）；

（2）3|PM-PA|=2BM，理由如下：
由P（5，-1），E（1，5），F为PE的中点，得
F（3，2）．
设OF的解析式为y=kx，将F点的坐标代入，得
k=$\frac{2}{3}$．
OF的解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
AB的解析式为y=kx+b，
将A、B点坐标代入，得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
AB的解析式为y=-x+4，设P（a，4-a）
联立AB与OF的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
M（$\frac{12}{5}$，$\frac{8}{5}$），
PA=$\sqrt{（a-4）^{2}+（4-a）^{2}}$=|a-4|$\sqrt{2}$，
PM=$\sqrt{（a-\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}-a）^{2}}$=|a-$\frac{12}{5}$|$\sqrt{2}$，
BM=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}-4）^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{2}$
当a＞4时，3（PM-PA）=2BM，
当$\frac{12}{5}$＜a＜4时，3（PM-PA）=2BM
当a＜$\frac{12}{5}$时，3（PA-PM）=2BM，
综上所述：3|PM-PA|=2BM．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）做出辅助线得出全等三角形是解题关键；（2）利用线段中点公式得出F点坐标，利用待定系数法求函数解析式，再利用勾股定理得出PA、PM、BM，要分类讨论，以防遗漏．