Question

2．在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：EF=EC．

Answer 1

分析 依据平行线的性质可知：∠DAF=∠AEB，然后依据AAS证明Rt△ABE≌Rt△DFA，从而可得到DF=DC，然后依据HLRt△DFEE≌Rt△DCE，依据全等三角形的性质可得到问题的答案．

解答 证明：如图所示：连结ED．

∵ABCD为矩形，
∴AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEB．
在△ABE和△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AFD}\\{∠BEA=∠DAF}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFA．
∴AB=DF．
又∵AB=DC，
∴DF=DC．
在Rt△DFEE和Rt△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{DE=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△DFEE≌Rt△DCE．
∴EF=EC．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的性质和判断，证得△ABE≌△DFA是解题的关键．