Question

1．已知，如图，矩形ABCD，点E是线段BC延长线上一点，且AB=BE，F为边AB上一点，∠DEF=45°．
（1）若∠BFE=75°，CE=3，求梯形ABED的周长；
（2）求证：FD=BF+CE；
（3）若线段BF、CE的长是方程17x²+420=169x的两根，且BF＜CE，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质结合角的计算即可得出∠CED=60°，在Rt△DCE中利用解直角三角形求出CD、DE的长度，再根据AB=BE以及CE的长度可求出AD的长度，由此即可求出梯形ABED的周长；
（2）延长AB至G，使得BG=CE，由此即可得出△CDE≌△BEG，根据全等三角形的性质找出∠CDE=∠BEG、DE=GE，再通过角的计算即可得出∠GEF=∠DEF，利用全等三角形的判定定理SAS证出△GEF≌△DEF，进而即可得出FD=FG=BF+CE；
（3）解方程17x²+420=169x即可得出BF、CE的长度，设AB=a，即可得出AF、AD的长度，利用勾股定理即可求出a值，再利用勾股定理即可求出DE的长．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°．
∵∠BFE=75°，
∴∠BEF=180°-∠B-∠BFE=15°，
∵∠DEF=45°，
∴∠CED=∠BEF+∠DEF=60°．
在Rt△DCE中，∠DCE=90°，∠CED=60°，CE=3，
∴CD=CE•tan∠CED=3$\sqrt{3}$，DE=$\frac{CE}{cos∠CED}$=6．
∵AB=BE，
∴BE=AB=CD=3$\sqrt{3}$，AD=BC=BE-CE=3$\sqrt{3}$-3，
∴C_梯形ABED=AB+BE+ED+DA=3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$+6+3$\sqrt{3}$-3=9$\sqrt{3}$+3．
（2）延长AB至G，使得BG=CE，如图1所示．
∵AB=BE，AB=CD，
∴CD=BE．
在△CDE和△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=CE}\\{∠EBG=∠DCE=90°}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BEG（SAS），
∴∠CDE=∠BEG，DE=GE．
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠GED=∠BEG+∠CED=90°．
∵∠DEF=45°，
∴∠GEF=∠GED-∠DEF=45°=∠DEF．
在△GEF和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}{GE=DE}\\{∠GEF=∠DEF}\\{FE=FE}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△DEF（SAS），
∴FD=FG=FB+BG，
∵BG=CE，
∴FD=BF+CE．
（3）∵线段BF、CE的长是方程17x²+420=169x的两根，且BF＜CE，
∴BF=$\frac{84}{17}$，CE=5．
设AB=a（a＞0），则AF=AB-BF=a-$\frac{84}{17}$，AD=BE-CE=a-5，
在Rt△DAF中，∠A=90°，AD=a-5，AF=a-$\frac{84}{17}$，DF=BF+CE=$\frac{169}{17}$，
∴DF²=AD²+AF²，即$\frac{28561}{289}$=（a-5）²+$（a-\frac{84}{17}）^{2}$，
解得：a=12或a=-$\frac{35}{17}$（舍去），
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出相等的边角关系是解题的关键．