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6.已知二次三项式ax2+bx+c当x=2时,取得最小值-1;且它的两根的立方和为24,如果x=-1,那么这个二次三项式的值是12$\frac{1}{2}$.

分析 根据二次三项式ax2+bx+c当x=2时,取得最小值-1;且它的两根的立方和为24,可以转化为一元二次函数的问题,从而可以求得a、b、c的值,进而可以求得当x=-1时的这个二次三项式的值,本题得以解决.

解答 解:由题意可得,
令y=ax2+bx+c,当x=2时,有最小值y=-1,设ax2+bx+c=0时的两个根为x1,x2
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=-1}\\{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=({x}_{1}+{x}_{2})({{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2})=24}\end{array}\right.$
又∵${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}$,${{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}=({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}$,
解得,$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$
∴当x=-1时,y=a-b+c=$\frac{3}{2}-(-6)+5=\frac{3}{2}+6+5=12\frac{1}{2}$,
故答案为:12$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查根与系数的关系,解题的关键是明确根与系数的关系,利用数学中转化的数学思想将所求问题转化为二次函数的问题.

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