菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O.AB=2.∠ABC=120°.动点P在线段BD上从点B向点D运动.PE⊥AB于点E.四边形PEBF关于BD对称.四边形QGDH与四边形PEBF关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1.BP=x:(1)对角线AC的长为2$\sqrt{3}$,S菱形ABCD=2$\sqrt{3}$,(2)用含x的代数式表示S1,(3)设点P在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，∠ABC=120°，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PE⊥AB于点E，四边形PEBF关于BD对称，四边形QGDH与四边形PEBF关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S₁，BP=x：
（1）对角线AC的长为2$\sqrt{3}$；S_菱形ABCD=2$\sqrt{3}$；
（2）用含x的代数式表示S₁；
（3）设点P在移动过程中满足S₁=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD时，求x的值．

分析（1）根据锐角三角函数可以分别求得AO、BO的长，从而可以求得对角线AC和BD的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，从而可以求得菱形的面积；
（2）要用含x的代数式表示S₁，分两种情况，分别写出两种情况下它们的关系式即可；
（3）根据（2）中的关系可以求得满足条件的x的值，本题得以解决．

解答解：（1）∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，∠ABC=120°，
∴∠AOB=90°，∠ABO=60°，
∴AO=AB•sin60°=$\sqrt{3}$，BO=AB•cos60°=1，
∴AC=2AO=2$\sqrt{3}$，BD=2BO=2，
∴${S}_{菱形ABCD}=\frac{2\sqrt{3}•2}{2}=2\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$；2$\sqrt{3}$；
（2）由题意可得
∠ABO=60°，BP=x，∠PEB=90°，
∴BE=BP•cos60°=$\frac{x}{2}$，PE=BP•sin60°=$\frac{\sqrt{3}x}{2}$，
∴当0＜x≤1时，${S}_{1}=\frac{\frac{1}{2}x•\frac{\sqrt{3}x}{2}}{2}×4$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{2}$，
当1＜x≤2时，${S}_{1}=\frac{\frac{1}{2}x•\frac{\sqrt{3}x}{2}}{2}×4$-$\frac{2（x-1）•2×\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）}{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}x}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由上可得，S₁=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{2}}&{0＜x≤1}\\{-\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{6}+\frac{4\sqrt{3}x}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}}&{1＜x≤2}\end{array}\right.$；
（3）∵菱形的面积是$2\sqrt{3}$，
∴令$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}=\sqrt{3}$，得x=$\sqrt{2}$＞1（舍去）或x=-$\sqrt{2}$（舍去），
令$-\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，得x=4$+\sqrt{6}＞2$（舍去），或x=4-$\sqrt{6}$，
即点P在移动过程中满足S₁=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD时，x的值是4-$\sqrt{6}$．

点评本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答问题．

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