Question

3．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF，作点F关于CD的对称点，记为点G，连接DG．

（1）依题意在图1中补全图形；
（2）连接BD，EG，判断BD与EG的位置关系并在图2中加以证明；
（3）当点E为线段AB的中点时，直接写出∠EDG的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据对称画出图形即可；
（2）先利用旋转判断出点B，C，F在一条直线上，进而利用轴对称得出△DCG≌△DCF即可；
（3）先构造出直角三角形，再利用勾股定理即可表示出GM，DM即可得出结论．

解答 解：（1）依题意补全图形如图1：


（2）结论：BD⊥EG．
证明：如图2，BD，EG交于M，

∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°，
由旋转可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF
∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°，
∴点B，C，F在一条直线上．
∵点G与点F关于CD的对称
∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF
∴DE=DG，AE=CG，
∴BE=BG 
∴BD⊥EG于M．

（3）如图3，
过G作GM⊥DE于M，
由（2）知，DE=DG，
设BE=x，
∴AE=CF=CG=BG=x，
∴AD=2x，
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{（2x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴DG=$\sqrt{5}$x，
在Rt△BEG中，EG=$\sqrt{2}$x，
设DM=a，
∴EM=DE-DM=$\sqrt{5}$x-a，
在Rt△EMG中，MG²=EG²-EM²，
∴MG²=2x²-（$\sqrt{5}$x-a）²，
在Rt△DMG中，MG²=5x²-a²，
∴2x²-（$\sqrt{5}$x-a）²=5x²-a²，
∴a=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴MG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$x
在Rt△DMG中，tan∠EDG=$\frac{MG}{DM}$=$\frac{3}{4}$．
即：∠EDG的正切值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理以及对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．