Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P、M分别位于边AC、BC上（不与原点重合），PQ⊥AB，垂足为Q，四边形PMQN为平行四边形
（1）设CP=x，BQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当点N与点A重合时，求CM的长；
（3）试问：平行四边形PMQN是否可能为正方形？若能，请求出其边长，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理，求得CB：CA：AB=3：4：5，再判定△ABC∽△APQ，得出$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，据此列出y关于x的函数关系式，并根据CP的长写出定义域；
（2）先设CM=a，在Rt△PCM中，得出CP=$\frac{4}{3}$a，PM=$\frac{5}{3}$a，得到AP=8-$\frac{4}{3}$a，再根据△ABC∽△APQ，得出AQ=$\frac{4}{5}$AP=$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=NQ，最后根据平行四边形PMQN中，NQ=PM，列出关于a的方程$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=$\frac{5}{3}$a，求得a的值即可；
（3）当PM=QM，∠PMQ=90°时，平行四边形PMQN为正方形．先过点Q作QD⊥BC于D，判定△PCM≌△MDQ（AAS），得出PC=MD，CM=DQ，再设CP=x=MD，由（1）可得BQ=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$，并根据相似三角形的性质，在Rt△BDQ中，求得DB=$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），DQ=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），进而得到CM=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），最后根据BC=CM+MD+BD=6，列出关于x的方程$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）+x+$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）=6，求得x的值，然后在Rt△PCM中，根据勾股定理，求得PM的长即可．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理得，AB=10，
∴CB：CA：AB=3：4：5，
设CP=x，BQ=y，则AQ=10-y，AP=8-x，
∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AQP，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△APQ，
$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
即$\frac{8-x}{10}$=$\frac{10-y}{8}$，
∴10（10-y）=8（8-x），
∴y=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$（0＜x＜8）；

（2）如图2，当点N与点A重合时，PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∴CM：CP：PM=3：4：5，
设CM=a，则CP=$\frac{4}{3}$a，PM=$\frac{5}{3}$a，AP=8-$\frac{4}{3}$a，
由（1）可得，△ABC∽△APQ，
∴AQ：AP=4：5，
∴AQ=$\frac{4}{5}$AP=$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=NQ，
∵四边形PMQN为平行四边形，
∴NQ=PM，
∴$\frac{4}{5}$（8-$\frac{4}{3}$a）=$\frac{5}{3}$a，
解得a=$\frac{96}{41}$，
∴CM的长为$\frac{96}{41}$；

（3）平行四边形PMQN可能为正方形．
当PM=QM，∠PMQ=90°时，平行四边形PMQN为正方形．
如图3，过点Q作QD⊥BC于D，则∠QDM=∠C=90°，
∴∠DQM+∠QMD=90°=∠CMP+∠QMD，
∴∠DQM=∠CMP，
在△PCM和△MDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DQM=∠CMP}\\{∠QDM=∠C}\\{QM=MP}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△MDQ（AAS），
∴PC=MD，CM=DQ，
∵QD∥AC，
∴△ABC∽QBD，
∴DB：DQ：BQ=3：4：5，
设CP=x，则MD=x，
由（1）可得BQ=$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$，
∴Rt△BDQ中，DB=$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），DQ=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），
∴CM=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$），
又∵BC=6，
∴CM+MD+BD=6，
即$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）+x+$\frac{3}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）=6，
解得x=$\frac{24}{53}$，
即CP=$\frac{24}{53}$，CM=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{5}$x+$\frac{18}{5}$）=$\frac{168}{53}$，
∴Rt△PCM中，PM=$\sqrt{P{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{53}）^{2}+（\frac{168}{53}）^{2}}$=$\frac{120}{53}\sqrt{2}$，
∴此时正方形PMQN的边长为$\frac{120}{53}\sqrt{2}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例，并作辅助线构造全等三角形，解题时注意数形结合思想以及方程思想的运用．