Question

10．已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．
（1）如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？
（2）如果长方形的长是n（n≥4），宽是n-2，那么最多可以放人多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？
（3）对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%．求长方形边长的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）直接确定出里面放入的正方形的个数，即可确定出结论；
（2）分n奇数和偶数两种情况，分别求出可最多放入的正方形的个数，即可确定出结论；
（3）分长方形的长和宽都是偶数，都是奇数，一个偶数，一个奇数，三种情况讨论计算．

解答 解：（1）最多可以放入2个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是$\frac{2×{2}^{2}}{4×3}=\frac{2}{3}$≈66.7%；
（2）当n为偶数时，n-2也是偶数，最多可以放入$\frac{1}{4}$n（n-2）个正方形，
长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是100%，
当n为奇数时，n-2也是奇数，最多可放入$\frac{1}{4}$（n-1）（n-3）个正方形，
长方形被覆盖的面积占整个长方形的面积的百分比是$\frac{（n-1）（n-3）}{n（n-2）}×100%$，
（3）设长方形的宽与长分别为x，y，
若x，y都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100%，不符合题意；
若x，y中一个是偶数2a，一个是奇数（2b+1）（a，b是正整数）
，则$\frac{4ab}{xy}=\frac{4ab}{2a（2b+1）}=\frac{2b}{2b+1}$＜0.55，
∴b＜0.61，
没有满足此结果的正整数b，这种情况也不符合题意，
因此，x，y都是奇数，
令$\left\{\begin{array}{l}{x=2a+1}\\{y=2b+1}\end{array}\right.$，a≤b，a，b是正整数，
∴$\frac{4ab}{（2a+1）（2b+1）}$＜0.55①，
∵$\frac{4ab}{（2a+1）（2b+1）}=\frac{4a}{（2a+1）（2+\frac{1}{b}）}$＞$\frac{4a}{（2a+1）（2+\frac{1}{a}）}=（\frac{2a}{2a+1}）^{2}$，
∴$（\frac{2a}{2a+1}）^{2}$＜0.55，
∴$\frac{2a}{2a+1}＜0.74$，
∴a＜1.4，
由于a是正整数，
∴a=1．
代入①式，得 $\frac{4b}{3（2b+1）}＜0.55$，
解得，b＜2.4，
由于b是正整数，
∴b=1或2，
故有x=3，y=3或5，
即：长方形的长为5，宽为3，或长和宽都是3．

点评 此题主要考查了正方形的性质和面积，长方形的性质和面积，分类讨论是解本题的关键也是难点，是一道难度比较大的竞赛题．