Question

（2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（-6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为

（0，12）或（0，-12）

．

Answer 1

分析：如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C．
注意点C有两个．

解答：解：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（-6，0），∴AB=10，E（-1，0）．
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=

1

2

AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5

2

；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=

1

2

∠BPA=45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5

2

，由勾股定理得：CF=

PC2-PF2

=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴点C坐标为（0，12）；
（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，-12）．
综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，-12）．
故答案为：（0，12）或（0，-12）．

点评：本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在．