Question

已知抛物线y=-

1

2

x²+bx-1的对称轴是直线x=2，射线MA在x轴上，作线段MD，使∠AMD=45°，且点D的坐标为（m，-2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用含m的代数式表示点M的坐标；
（3）以DM为边作等腰Rt△DME，当点E在抛物线的对称轴上时，求出所有符合条件的m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据二次函数的对称轴列式求出b，即可得解；
（2）过点D作DN⊥x轴于N，可得△DMN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得MN=DN，根据点D的坐标求出DN=2，点N的横坐标为m，再分点M在点N的左边和右边两种情况写出点M的坐标即可；
（3）分DM是直角边和斜边，点D在对称轴直线x=2的左边与右边作出图形，然后写出点D的坐标，从而得到m的值．

解答：解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴-

b

2×(- 1 2 )

=2，
解得b=2．
所以二次函数的解析式y=-

1

2

x²+2x-1；

（2）如图，过点D作DN⊥x轴于N，
∵∠AMD=45°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∵点D的坐标为（m，-2），
∴MN=DN=2，点N的横坐标为m，
点M在点N的左边时，横坐标为m-2，在点N的右边时，横坐标为m+2，
所以，点M的坐标为（m-2，0）或（m+2，0）；

（3）如图，△DME是等腰直角三角形时，点D的坐标为（-2，-2），（0，-2），（2，-2），（4，-2），（6，-2），
所以m的值为-2或0或2或4或6．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴，等腰直角三角形的性质，（2）要注意点M的坐标有两种情况，（3）作出图形，利用数形结合的思想确定出点D的可能位置更形象直观．