Question

3．如图，二次函数y=ax²+bx-4$\sqrt{3}$的图象经过A（-1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，
且∠CBP=60°．
①求∠OBD的度数；
②求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）代入A、B点坐标即可求得a、b的值，即可解题；
（2）①易证△BOD是含30°角的直角三角形，即可解题；
②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，易证△CBF∽△PBE，可得 $\frac{CF}{BF}$=$\frac{PE}{BE}$，即可解题．

解答 （1）由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4\sqrt{3}=0}\\{16a+4b-4\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}}\\{b=-3\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴该二次函数的表达式为y=$\sqrt{3}$x²-3$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$；
（2）①∵当x=0时，y=-4$\sqrt{3}$．
∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，-4$\sqrt{3}$）．
∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{{{OD}^{2}+OB}^{2}}$=8，即BD=2OB，
∴∠ODB=30°．
∴∠OBD=60°；
②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，

∵x=3时，m=-4$\sqrt{3}$．
∴点C的坐标为（3，-4$\sqrt{3}$）．
∵CD∥x轴，
∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{3}{2}$，CF=$\sqrt{{{CD}^{2}-DF}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵BD=8，
∴BF=8-$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{2}$，
设点P的坐标为（x，$\sqrt{3}$x²-3$\sqrt{3}$x-4$\sqrt{3}$）．
则PE=-$\sqrt{3}$x²+3$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，BE=4-x，
∵∠CBP=∠OBD=60°，
∴∠CBF=∠PBE．
∵∠CFB=∠PEB=90°．
∴△CBF∽△PBE．
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{PE}{BE}$．
∴$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{\frac{13}{2}}$=$\frac{-\sqrt{3}x2+3\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}{4-x}$．
解得：x₁=4（舍去），x₂=-$\frac{10}{13}$．
∵当x=-$\frac{10}{13}$ 时，y=-$\frac{186}{169}$$\sqrt{3}$．
∴点P的坐标为（-$\frac{10}{13}$，-$\frac{186}{169}$$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了代入法求二次函数解析式的方法，考查了一元二次方程的求解，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△CBF∽△PBE是解题的关键．