如图.在平面直角坐标系中.直线l是第一.三象限的角平分线．实验与探究:关于直线l的对称点A′.请在图中分别标明B关于直线l的对称点B′.C′的位置.并写出他们的坐标:B′ .C′ ,归纳与发现:(2)结合图形观察以上三组点的坐标.你会发现:坐标平面内任一点P(a.b)关于第一.三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 ,运用与拓广:.E.试在直线l上确定一点Q.使点Q到D.E两点的距离之和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′（2，0）的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′

、C′

；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为

（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，-3）、E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

分析：易找到点B关于第一、三象限角平分线的对称点B′的坐标为（3，5），再结合已知的点A的坐标，我们不难猜想点C′坐标是（5，-2），然后找到点C′，可以发现CC′被第一、三象限角平分线垂直且平分，由此可以推想到坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a），即它们纵、横坐标互换位置．

解答：

解：（1）如图：B′（3，5），C′（5，-2）；

（2）（b，a）；

（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D′的坐标为（-3，1），连接D′E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小．
设过D′（-3，1）、E（-1，-4）直线的解析式为y=kx+b，
则

-3k+b=1

-k+b=-4

∴

k=-

b=-

∴直线D′E的解析式为：y=-

由

y=-

y=x

得

x=-

y=-

∴所求Q点的坐标为（-

，-

）．

点评：本题的解答经历了实验--猜想--验证--推广的思维过程，这也是我们认识事物规律的一般方法，主要考查一次函数的性质和图象，中等难度．

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B．y=

-8

C．y=

-12

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-16

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