Question

19．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PE∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）若点P在BC上（如图一），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB（填“＞”“＜”或“=”）
（2）当点P在△ABC内（如图二）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出你的猜想，不需要证明．

Answer 1

分析 （1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE=∠C，然后求出∠B=∠BPE，利用等角对等边求出PE=BE，然后求解即可；
（2）根据平行四边形的判定得出四边形AEPF为平行四边形，根据平行四边形的性质，平行线的性质即可得证．

解答 解：（1）答：PD+PE+PF=AB．
证明如下：∵点P在BC上，
∴PD=0，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PF=AE，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C，
∴∠B=∠BPE，
∴PE=BE，
∴PE+PF=BE+AE=AB，
∵PD=0，
∴PD+PE+PF=AB；

（2）当点P在△ABC内时，结论PD+PE+PF=AB仍然成立．
证明：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形AEPF为平行四边形，
∴PE∥AF
∵PF∥AB，
∴∠FDC=∠B，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴DF=CF，
∴DF+PE=CF+AF，即DF+PE=AC，
又∵DF=PD+PF，AC=AB，
∴PD+PF+PE=AB，即上述结论成立．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键．