Question

2．（1）已知，如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点，求证：PA=PC+$\root{2}{2}$PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为劣弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=∠3=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+$\sqrt{2}$PB；
（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=$\sqrt{3}$PB，PA=PQ+AQ=$\sqrt{3}$PB+PC．

解答 证明：
（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，如图1，

∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=60°；
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE=PC，AC=BC，
在△BEC和△APC中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=PC}\\{∠BEC=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA=BE=PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2，

∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
∴∠APB=45°，
∴BP=BE，
∴PE=$\sqrt{2}$PB，
在△ABE和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BP}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC=AE，
∴PA=AE+PE=PC+$\sqrt{2}$PB；
（3）PA=PC+$\sqrt{3}$PB．
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，如图3，

∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
在△ABQ和△CBP中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=PC}\\{∠BAP=∠BCP}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△ABQ≌△CBP（SAS），
∴BQ=BP，
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=$\frac{PM}{BP}$，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB，
∴PQ=$\sqrt{3}$PB，
∴PA=PQ+AQ=PC+$\sqrt{3}$PB．

点评 本题主要考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题．